La IA descubre 663 posibles teoremas en los cuadernos de Kurt Gödel

La inteligencia artificial ha sacado a la luz 663 posibles teoremas matemáticos en los cuadernos inéditos de Kurt Gödel, uno de los grandes nombres de la lógica del siglo XX. El hallazgo procede de una investigación de la Universidad de Helsinki que ha permitido analizar más de mil páginas escritas hace ocho décadas y recuperar razonamientos que permanecían prácticamente desconocidos.

Los primeros resultados son extraordinarios, aunque requieren algunas precisiones. De las 663 proposiciones identificadas por la IA, unas 400 han superado las comprobaciones formales sin modificaciones, alrededor de 200 han necesitado correcciones y aproximadamente 50 han resultado falsas. El análisis también apunta a que Gödel estuvo cerca de resolver un problema matemático que otro investigador demostraría años después.

Detrás del trabajo está Jan von Plato, lógico de la Universidad de Helsinki que desde 2017 estudia los manuscritos del matemático austriaco. Su equipo llevaba años intentando reconstruir aquellos razonamientos, escritos en un sistema de taquigrafía alemana prácticamente desaparecido. La incorporación del modelo de inteligencia artificial Claude ha cambiado radicalmente el ritmo de la investigación.

Lo más interesante no es únicamente la cantidad de resultados recuperados. Los cuadernos contienen ideas que parecen anticipar descubrimientos posteriores y hasta 14 líneas de investigación en lógica que, según Von Plato, no llegaron a desarrollarse. Una parte importante del pensamiento de Gödel podría haber permanecido fuera de la historia conocida de las matemáticas.

El enigma de los 16 cuadernos que Gödel escribió hace 80 años

Kurt Gödel (1906-1978) transformó la lógica matemática en 1931 con sus célebres teoremas de incompletitud. Demostró, entre otras cosas, que cualquier sistema formal consistente, suficientemente potente para expresar la aritmética, contiene afirmaciones que no pueden demostrarse ni refutarse utilizando únicamente sus propias reglas.

Aquello puso límites a la aspiración de construir unas matemáticas en las que todas las verdades pudieran demostrarse mediante un conjunto completo de axiomas. Su trabajo también influyó en el desarrollo de la teoría de la computación y en investigadores como Alan Turing.

Sin embargo, Gödel publicó relativamente poco después de sus grandes aportaciones iniciales. Cuando murió, en 1978, dejó decenas de miles de páginas de escritos, borradores y anotaciones personales.

Entre ese material destacan 16 cuadernos de trabajo, redactados principalmente durante los primeros años de la década de 1940, tras su llegada a Estados Unidos. Reúnen 1.009 páginas dedicadas a problemas de lógica y fundamentos de las matemáticas.

La dificultad no estaba únicamente en entender los razonamientos. Buena parte del contenido aparecía escrito en taquigrafía Gabelsberger, un sistema alemán desarrollado en el siglo XIX que utiliza trazos, abreviaturas y convenciones muy diferentes de la escritura ordinaria.

Gödel incorporó, además, sus propias abreviaturas y símbolos matemáticos. Interpretar correctamente una página exigía conocer tanto aquel sistema de escritura como las ideas del autor.

Von Plato aprendió a leer esta taquigrafía para trabajar directamente con los originales. Según ha explicado, quedan muy pocas personas capaces de interpretarla con soltura.

Claude analizó en días lo que llevaba años de investigación

El proyecto de Helsinki avanzaba aproximadamente una página por semana en la comprensión matemática de los cuadernos. A ese ritmo, estudiar la totalidad del material suponía un trabajo de muchos años.

La situación cambió en septiembre de 2026. Después de conocer las posibilidades de la inteligencia artificial aplicada a la demostración matemática durante un encuentro científico celebrado en Francia, Von Plato decidió utilizar Claude, desarrollado por Anthropic.

El investigador proporcionó al sistema sus propias transcripciones de los manuscritos, seis libros que había escrito sobre Gödel y documentación académica especializada.

Este detalle es importante: la IA no descifró por sí sola los manuscritos originales. Trabajó principalmente a partir de las transcripciones y del conocimiento acumulado durante años por el equipo investigador.

En apenas un par de días, Claude produjo un análisis de unas 650 páginas que relacionaba las ideas contenidas en los 16 cuadernos.

La principal ventaja fue su capacidad para examinar conjuntamente razonamientos dispersos por cientos de páginas, detectar conexiones y reconstruir argumentos que resultaban difíciles de seguir mediante una lectura convencional.

Von Plato revisó el trabajo página por página. A partir de ese análisis, encargó al modelo identificar todos los resultados para los que Gödel hubiera dejado una demostración completa, un esbozo o simplemente una idea de cómo demostrarla.

El sistema identificó 663 posibles teoremas.

Cuántos teoremas de Gödel han podido verificarse

La identificación de esas 663 proposiciones no significa que todas sean descubrimientos matemáticos correctos.

Para comprobarlas, los investigadores recurrieron a Coq, un asistente de pruebas matemáticas que permite verificar formalmente la validez de razonamientos expresados mediante reglas lógicas precisas.

Los resultados comunicados por Von Plato establecen tres grandes grupos.

Aproximadamente 400 teoremas pudieron verificarse tal como estaban formulados. Otros 200 necesitaron modificaciones, como precisar las condiciones de una afirmación o incorporar hipótesis adicionales. En torno a 50 resultaron incorrectos.

Las cifras son aproximadas y proceden de las comprobaciones descritas por el responsable de la investigación. No equivalen todavía a una evaluación académica independiente de todo el material.

Por qué una demostración formal no resuelve todas las dudas

Un programa como Coq puede verificar que una demostración formalizada sigue correctamente las reglas establecidas. Pero eso no garantiza, por sí solo, que la reconstrucción reproduzca exactamente lo que Gödel escribió o pretendía demostrar.

También es necesario comprobar si los resultados eran realmente desconocidos, si existen antecedentes publicados y qué parte de cada reconstrucción procede del matemático original y cuál corresponde al trabajo posterior.

Las anotaciones de Gödel contenían incluso errores reconocidos por él mismo. En algunos márgenes escribió palabras alemanas para señalar que un razonamiento era incorrecto o insatisfactorio.

La investigación permite recuperar una cantidad considerable de material matemático, pero identificar una proposición, verificarla y demostrar su originalidad histórica son tareas diferentes.

Gödel pudo adelantarse a uno de los grandes descubrimientos de Paul Cohen

Uno de los hallazgos más relevantes afecta al axioma de elección, una proposición fundamental de la teoría de conjuntos.

Expresado de forma simplificada, establece que, dada una colección de conjuntos no vacíos, es posible seleccionar un elemento de cada conjunto, incluso cuando la colección es infinita.

Gödel ya había demostrado en trabajos publicados hasta 1940 que el axioma de elección y la hipótesis generalizada del continuo eran compatibles con los demás axiomas habituales de la teoría de conjuntos, suponiendo que estos fueran consistentes.

Quedaba otra parte del problema: establecer si esos axiomas permitían también construir modelos matemáticos en los que el axioma de elección no fuera válido.

El estadounidense Paul Cohen desarrolló durante los años sesenta una técnica revolucionaria, conocida como forcing, con la que consiguió demostrar resultados de independencia fundamentales para la teoría de conjuntos. En 1966 recibió la Medalla Fields.

Gödel sostuvo entonces que había obtenido resultados relacionados con ese problema muchos años antes, pero no consiguió reconstruir una demostración completa a partir de sus apuntes.

Los manuscritos recuperados ofrecen nuevas pistas.

Según Von Plato, el análisis de Claude ha permitido reconstruir un argumento que muestra que Gödel estuvo muy cerca de demostrar la independencia del axioma de elección.

El razonamiento contenía una definición incorrecta, aunque el investigador señala que Gödel había utilizado una formulación adecuada en anotaciones anteriores. La demostración reconstruida con esa corrección habría superado la verificación mediante Coq.

El descubrimiento tiene un considerable interés histórico, pero no permite afirmar que Gödel resolviera definitivamente el problema antes que Cohen.

El lógico Joel David Hamkins, de la Universidad de Notre Dame, ha advertido de que encontrar ideas semejantes a una demostración posterior no significa necesariamente que su autor llegara a completarla. El especialista tampoco había examinado todavía la reconstrucción cuando valoró los resultados.

La distinción es esencial: Gödel pudo anticipar una parte decisiva del razonamiento sin haber alcanzado una demostración terminada.

Los nuevos manuscritos pueden ampliar la historia de las matemáticas

El análisis de los cuadernos también ha identificado, según Von Plato, decenas de resultados que anticiparían descubrimientos de las décadas de 1970 y 1980.

Otra de las conclusiones más llamativas es la presencia de 14 temas de investigación relacionados con la lógica y los fundamentos matemáticos que no habrían recibido un desarrollo posterior comparable.

Será necesario estudiar esas propuestas individualmente para establecer su alcance y determinar si pueden aportar resultados nuevos a las matemáticas actuales.

El proyecto tampoco se limita a los 16 cuadernos examinados. El archivo intelectual de Gödel incluye investigaciones sobre filosofía, física y cosmología que todavía no se han estudiado de forma sistemática.

Von Plato pretende abordar parte de ese material después de completar sus investigaciones actuales sobre lógica matemática.

La experiencia plantea, además, una aplicación concreta de la inteligencia artificial en la investigación científica: analizar grandes archivos, relacionar documentos y localizar resultados susceptibles de verificación.

No supone que un modelo de lenguaje pueda sustituir el conocimiento matemático especializado. Los errores detectados en las proposiciones recuperadas demuestran precisamente la importancia de mantener mecanismos independientes de comprobación.

El legado desconocido de Gödel todavía puede crecer

Casi medio siglo después de su muerte, Kurt Gödel vuelve a ocupar un lugar destacado en la investigación matemática. Esta vez, no por un artículo recién publicado, sino por razonamientos que permanecieron durante décadas en sus cuadernos personales.

El descubrimiento abre la posibilidad de reconstruir con mayor precisión cómo trabajaba uno de los pensadores más influyentes del siglo XX y hasta dónde llegaron sus investigaciones inéditas.

Queda por determinar cuántos de los resultados recuperados representan aportaciones originales y cuántos podrán incorporarse definitivamente al conocimiento matemático.

Por el momento, el avance más sólido es haber identificado y sometido a comprobación cientos de proposiciones que permanecían prácticamente inaccesibles. La inteligencia artificial ha acelerado una investigación iniciada mucho antes de su intervención.

Y los cuadernos de Gödel, escritos hace más de 80 años, todavía tienen mucho contenido por estudiar.